Entramos en el estudio semántico cuando hacemos referencia al carácter de verdad o falsedad que pueda tener una proposición. Al hacer referencia al posible valor de verdad o falsedad que pueda tener una fórmula estamos admitiendo un principio, el principio de bivalencia: todo enunciado es o verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez.
El principio de bivalencia puede aplicarse tanto a las proposiciones atómicas como a las moleculares. Si una proposición es verdadera, se dirá que tiene valor de verdad positivo; si es falsa, negativo. El criterio que se adopta para atribuir valor de verdad o falsedad a una proposición atómica, no es, según Wittgenstein, un problema de análisis lógico, sino un problema de experiencia. Si lo enunciado en una proposición está conforme con los hechos, la proposición es verdadera, de lo contrario es falsa.
Un segundo principio de la lógica bivalente es, aquel que mantiene que el valor de verdad de las proposiciones moleculares depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la forman. En este sentido podemos decir que las fórmulas moleculares son también funciones de verdad o funciones veritativas, ya que los valores que adoptan son valores de verdad.
Para determinar el valor de verdad de una proposición molecular, independientemente de los valores de sus componentes, existe un procedimiento mecánico: las tablas de verdad. Para construir las tablas de verdad hemos de tener en cuenta el número de filas con valor de verdad V= 1 y de falsedad F= 0, de los que ha de constar la tabla; el número de filas se rige por la siguiente formula 2n , donde n = al número de variables proposicionales de la fórmula dada. Así, para una sola variable p, la tabla sería 21 = 2 filas, o sea:
| p |
| 1 |
| 0 |
Esto que acabamos de decir se refiere al valor de verdad o falsedad de las variables que componen una fórmula. Pero, en las proposiciones moleculares, estas variables van unidas por conectivas, las cuales al relacionar los valores de las variables producen un resultado o función. Por ejemplo: la unión de p, q, mediante el conjuntor da lugar a una función veritativa:
| p | Ù | q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
¿Cuántas posibles funciones pueden resultar? La formula para averiguarlo seria 2n2, donde n = numero de variables. Por ejemplo, en el caso de que queramos averiguar funciones posibles en una tabla de verdad con dos variables 222 = 16.
| p | q | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f9 | f10 | f11 | f12 | f13 | f14 | f15 | f16 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Muchos de estos resultados corresponden a establecer entre p y q, los conectivos conocidos. Ahora vamos a examinar los valores de verdad de las conectivas:
· Condiciones de verdad del negador:
| p | ¬ p |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
· Cuando una enunciado es verdadero (valor de verdad positivo), su negación es falsa (valor de verdad negativo), y a la inversa. las condiciones de verdad de la negación se pueden representar de la siguiente manera:
· Condiciones de verdad del conjuntor:
| p | Ù | q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
· Podríamos unir dos enunciados cualesquiera mediante la cópula "y": p= llueve q= hace frío; mediante símbolos: p Ù q . Al igual que sucede en el lenguaje ordinario una conjunción es verdadera cuando lo son los dos enunciados que la forman, y falsa en todos los demás casos. A la conjunción en los Principia Mathematica se representan con un punto (.),&, y se la denomina producto lógico, por su analogía con el producto en las matemáticas.
Puede suceder que en la conjunción alguno de sus miembros esté negado, en este caso es necesario añadir el valor de verdad del miembro que esté negado. Los valores, en este caso, de Ø q son los contrarios de q.
| p | q | ¬ q |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Además, en una conjunción podemos añadir más enunciados. Tres por ejemplo: p Ù q Ù r.
En ese caso es verdadera si los son los tres enunciados que la forman.
· Condiciones de verdad de la disyunción: Podemos unir dos enunciados en el lenguaje ordinario con la partícula o: p o q; con símbolos: p Ú q. Se la denomina suma lógica. El significado del disyuntor es el siguiente: la disyunción es verdadera cuando al menos uno de los enunciados que la forman es verdadero, falsa los enunciados que la forman son falsos a la vez. Las condiciones de verdad de la disyunción son la imagen invertida de la conjunción. Para comprobar la verdad de una disyunción es suficiente con probar la verdad de uno de sus enunciados; para probar su falsedad es necesario comprobar que son falsos los dos enunciados que la forman. Pero la traducción al lenguaje formal es parcial e incompleta, aunque se corresponde con la partícula “o” del lenguaje ordinario, no debe confundirse con ella.
| p | Ú | q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
· En el leguaje ordinario hay dos usos: uso exclusivo y el uso inclusivo. El uso exclusivo, no permite que los enunciados sean verdaderos al mismo tiempo; por ejemplo: cuando un juez pregunta al acusado si es culpable o inocente. El uso inclusivo, permite que una de las opciones sea falsa; por ejemplo: para aprobar lógica hay que hacer el examen o presentar un trabajo. En latín existen dos partículas diferentes aut y vel, la primera tiene un uso exclusivo y la segunda inclusivo. Esto aparece bien diferenciado en el análisis lógico: f10, f2. La idea que encierra la disyunción exclusiva es: que uno de los extremos de la disyunción es verdadero, pero no los dos. (p Ú q) Ù Ø(q Ù p)
· Condiciones de verdad del condicional: el símbolo® recibe el nombre de implicador o condicional y es la formalización, parcial e incompleta de la partícula del lenguaje ordinario "si ...entonces". En losPrincipia Mathematica el símbolo es una herradura; el signo de la inclusión en matemáticas. la expresión que precede a la implicación se llama antecedente, la que le sucede, consecuente. Una proposición condicional es verdadera en todos los casos, salvo que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Así, según Filón existen tres modos como un condicional puede ser verdadero y uno de como puede ser falso.
| p | ® | q |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
· Es verdadero cuando empieza con una verdad y termina con una verdad, “si es de día es de día”; es verdadero si comienza con una falsedad y termina con una falsedad, “si la tierra vuela, la tierra tiene alas”; y es verdadero también, si comienza con una falsedad y termina con una verdad, “ si la tierra vuela, la tierra existe”. Y es falso, si comienza con una verdad y termina con una falsedad, “si es de día, es de noche". La tabla del condicional ha sido muy discutida, esta que se expone aquí es la definición de condicional material, en la que no se requiere ninguna relación de contenido entre antecedente y consecuente. Sino sólo el valor de verdad de sus componentes, a este criterio se llama extensional.
· Condiciones de verdad del bicondicional (coimplicador): en el lenguaje matemático no formalizado es frecuente el uso de la partícula "si y solo si", "cuando y solamente cuando", y "equivalente". Fundamentalmente cuando se hacen definiciones. La partícula que se utiliza para formalizar es «. Un bicondicional es verdadero cuando su antecedente y consecuente son a la vez verdaderos o son falsos; y falso en los demás casos.
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